Question

20．如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是矩形，且侧面AA₁C₁C⊥底面AA₁B₁B，M是AB的中点，若AA₁=2，AC=1，∠A₁AB=60°，CB₁⊥A₁B．
（1）求证：AC₁∥平面CMB₁；
（2）求三棱锥M-CC₁B₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁交B₁C于G，由三角形的中位线定理得到MG∥AC₁，再由线面平行的判断得答案；
（2）由已知得到三棱锥侧面ABB₁A₁为菱形，求出其面积，进一步求得侧面BCC₁B₁的面积，在三棱锥C-ABB₁中，由等积法可得A到平面BCB₁的距离，进一步得到M到平面BCB₁的距离，代入三棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：连接BC₁交B₁C于G，则G为BC₁的中点，
∵M是AB的中点，∴MG∥AC₁，
又AC₁?面CMB₁，MG?面CMB₁，∴AC₁∥平面CMB₁；
（2）解：∵侧面AA₁C₁C是矩形，且侧面AA₁C₁C⊥底面AA₁B₁B，
∴AC⊥底面AA₁B₁B，则AC⊥A₁B，
又CB₁⊥A₁B，且AC∩CB₁=C，∴A₁B⊥面CAB₁，则A₁B⊥AB₁，
则四边形ABB₁A₁为菱形，
∵AA₁=2，∠A₁AB=60°，∴${S}_{四边形AB{B}_{1}{A}_{1}}$=$2\sqrt{3}$，${S}_{△AB{B}_{1}}=\sqrt{3}$．
平行线AA₁与BB₁的距离为$\sqrt{3}$，又AC=1，得平行线BB₁与CC₁的距离为2．
求得${S}_{四边形BC{C}_{1}{B}_{1}}=2×2=4$，${S}_{△BC{B}_{1}}=2$．
在三棱锥C-ABB₁中，由等积法可得A到平面BCB₁的距离h=$\sqrt{3}$．
∵M是AB中点，∴M到平面BCB₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱锥M-CC₁B₁的体积等于$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．