Question

13．已知${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^n}$的展开式中，
（1）若第5项的系数与第3项的系数之比是56﹕3，求展开式中的常数项；
（2）求证：二项式${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^n}$与${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^{n+1}}$的展开式中不可能都有常数项．

Answer 1

分析 （1）在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．
（2）假设两个展开式中都含有常数项，根据展开式求出常数项，得到矛盾．

解答 解：展开式的通项为${T}_{k+1}={C}_{n}^{k}•{（\sqrt{x}）}^{n-k}•{（\frac{2}{{x}^{2}}）}^{k}={C}_{n}^{k}{•2}^{k}{•x}^{\frac{n-5k}{2}}$，
第5项的系数为${C}_{n}^{4}$•2⁴，第3项的系数为${C}_{n}^{2}•{2}^{2}$，
由已知，得出${C}_{n}^{4}$•2⁴：${C}_{n}^{2}•{2}^{2}$=56：3，解得n=10或n=-5（舍），
所以通项公式${T}_{k+1}={C}_{10}^{k}{（\sqrt{x}）}^{10-k}{（\frac{2}{{x}^{2}}）}^{k}={C}_{10}^{k}{2}^{k}{x}^{5-\frac{5}{2}k}$，
当k=2时，取到常数项 即T₃=180．
（2）假设它们的展开式都有常数项，分别为第r+1和k+1项，
则${T}_{r+1}={2}^{r}{C}_{n}^{r}{x}^{\frac{n-5r}{2}}$为常数项，由$\frac{n-5r}{2}=0$得n=5r，即n是5的倍数，
${T}_{k+1}={2}^{k}{C}_{n+1}^{k}{x}^{\frac{n+1-5k}{2}}$为常数项，由$\frac{n+1-5k}{2}$=0得n=5r-1，即n不是5的倍数，两者矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．

点评 本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，考查学生的运算能力．