Question

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，若E，F为BD₁的两个三等分点，G为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上的动点，则∠EGF的最大值是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形得出当动点G为长方体的上下两个面的中心时，∠EFG最大，最大值为90°．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示；
长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，
所以长方体的体对角线BD₁=3；
设BD₁的中点为O，因为E，F是BD₁的三等分点，
所以OE=OF=$\frac{1}{2}$，且长方体的高为1；
现以EF为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心
（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；
因此，当G位于这两个公共点处时，∠EFG最大，
此时EF为直径，所以∠EFG=90°；
若G在长方体表面的其它位置时，则G必在该球的外部，∠EFG必小于90°；
所以∠EFG的最大值为90°．
故选：D．

点评 本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了求空间角的应用问题，解题时应画出图形，利用数形结合的方法，是综合性题目．