Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD为菱形，从而AC⊥BD，证明PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明PC⊥BD；
（2）证明∠EDO就是DE与平面PAC所成的角，即可求得结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD；
（2）解：由底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，知BD=2，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$AC•BD•PA=4，可得PA=2$\sqrt{3}$，
由（1）知BD⊥平面PAC，
∴DE在平面PAC的射影为OE，
∴∠EDO就是DE与平面P所AC成的角，
∵E是PC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$PA=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△DOE中，tan∠EDO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EDO=30°
即DE与平面PAC所成的角为30°．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．