题目内容
11．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为$\frac{3}{4}$；向乙靶射击一次命中的概率为$\frac{2}{3}$，该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试，若两次命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试（1）求该射手通过测试的概率
（2）求该射手在这次测试中命中的次数X的分布列及数学期望．
分析 （1）根据相互独立事件同时发生的概率公式进行计算即可求该射手通过测试的概率
（2）由题意得X=0，1，2，分别求出对应的概率，即可求该射手在这次测试中命中的次数X的分布列及数学期望．
解答 解：（1）设向甲射击第一次命中为事件A1，第二次命中为事件A2，向乙射击一次命中为事件B，
则P（A1）=P（A2）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，
则P（$\overline{{A}_{1}}$）=P（$\overline{{A}_{2}}$）=$\frac{1}{4}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{3}$，
若该射手通过测试，则对应的事件为A1A2+$\overline{{A}_{1}}$AB+A$\overline{{A}_{2}}$B，
则对应的概率为P（A1A2+$\overline{{A}_{1}}$AB+A$\overline{{A}_{2}}$B）=P（A1）P（A2）+P（$\overline{{A}_{1}}$）P（A）P（B）+p（A）P（$\overline{{A}_{2}}$）P（B）
=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{16}$，
即该射手通过测试的概率为$\frac{13}{16}$．
（2）由题意知X=0，1，2，
当X=0，说明三次都没有命中，对应的概率P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）2=$\frac{1}{16}$，
当X=1，对应的概率P（X=1）=C${\;}_{2}^{1}•\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{8}$，
当X=2，说明射击甲两次命中2次，同时乙没有命中或者射击甲两次命中一次，射击乙命中，
对应的概率P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{16}$．
则对应的分布列为：
| x | 0 | 1 | 2 |
| p | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{13}{16}$ |
点评 本题主要考查独立事件同时发生的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列以及期望的计算，考查学生的计算能力，要求熟练掌握相应的概率公式．
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥BD，∠BAD=60°，AB=2
已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，
如图，P是平面ABCD外的一点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=2，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q点．
在四面体ABCD中，若AB=AD，CD=BC，求证：AC⊥BD．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AD的中点，求证：平面AA1C1C⊥平面A1EF．