Question

2．若“x∈[-2，1]”是“x∈{x|x²-ax-4≤0|≤0}”的充分但不必要条件，则实数a的取值范围是[-3，0]•

Answer 1

分析 由x²-ax-4≤0，解得$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$≤x≤$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$，根据“x∈[-2，1]”是“x∈{x|x²-ax-4≤0|≤0}”的充分但不必要条件，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}≤-2}\\{1≤\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}}\end{array}\right.$，且等号不能同时成立．解出即可．

解答 解：由x²-ax-4≤0，解得$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$≤x≤$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$，
∵“x∈[-2，1]”是“x∈{x|x²-ax-4≤0|≤0}”的充分但不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}≤-2}\\{1≤\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}}\end{array}\right.$，且等号不能同时成立．
化为$\left\{\begin{array}{l}{a+4≤\sqrt{{a}^{2}+16}}\\{2≤a+\sqrt{{a}^{2}+16}}\end{array}\right.$，
当a＞0时，$a+4≤\sqrt{{a}^{2}+16}$不成立；
∴a≤0，∴（2-a）²≤a²+16，解得a≥-3，因此-3≤a≤0，
经过验证满足条件．
∴实数a的取值范围是[-3，0]．
故答案为：[-3，0]．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式与根式不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．