题目内容
【题目】【2017镇江一模20】已知函数,(为常数).
(1)若函数与函数在处有相同的切线,求实数的值;
(2)若,且,证明:;
(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】见解析
【解析】解:(1),则且.1分
所以函数在处的切线方程为:,
从而,即.
(2)由题意知:设函数,则.
设,从而对任意恒成立,
所以,即,
因此函数在上单调递减,7分
即,
所以当时,成立.
(3)设函数,
从而对任意,不等式恒成立.
又,
当,即恒成立时,
函数单调递减.
设,则,
所以,即,符合题意;1
当时,恒成立,此时函数单调递增.
于是,不等式对任意恒成立,不符合题意;13分
当时,设,
则1
当时,,此时单调递增,
所以,
故当时,函数单调递增.
于是当时,成立,不符合题意;1
综上所述,实数的取值范围为:.1
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