Question

【题目】【2017南京一模19】设函数，．

（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，记函数，是否存在整数，使得关于的不等式

有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

（参考数据：，）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）当时，方程即为，去分母，得

，解得或，

故所求方程的根为或.

（2）因为，

所以（），

①当时，由，解得；

②当时，由，解得；

③当时，由，解得；

④当时，由，解得；

⑤当时，由，解得.

综上所述，当时，的增区间为；

当时，的增区间为；

时，的增区间为..

（3）方法一：当时，，，

所以单调递增，，，

所以存在唯一，使得，即，.1

当时，，当时，，

所以，

记函数，则在上单调递增，.1

所以，即，

由，且为整数，得，

所以不等式有解时的的最小整数为.

方法二：当时，，所以，

由得，当时，不等式有解，

下证：当时，恒成立，即证恒成立.

显然当时，不等式恒成立，

只需证明当时，恒成立.

即证明.令，

所以，由，得，

当，；当，；

所以.

所以当时，恒成立.

综上所述，不等式有解时的的最小整数为..1