题目内容

【题目】已知以点C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点O.
(1)设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,设B(0,2),且P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标.

【答案】
(1)解:∵OM=ON,所以,则原点O在MN的中垂线上.

设MN的中点为H,则CH⊥MN,

∴C、H、O三点共线,

∵直线MN的方程是3x+y﹣4=0,

∴直线OC的斜率 = = ,解得t=3或t=﹣3,

∴圆心为C(3,1)或C(﹣3,﹣1)

∴圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10或(x+3)2+(y+1)2=10

由于当圆方程为(x+3)2+(y+1)2=10时,圆心到直线3x+y﹣4=0的距离d>r,

此时不满足直线与圆相交,故舍去,

∴圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10


(2)解:在三角形PBQ中,两边之差小于第三边,故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|

又B,C,Q三点共线时|BQ|最大

所以,|PQ|﹣|PB|的最大值为

∵B(0,2),C(3,1),∴直线BC的方程为

∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(﹣6,4)


【解析】(1)由OM=ON得原点O在MN的中垂线上,由圆的弦中点性质和直线垂直的条件列出方程,求出t的值和C的坐标,代入圆的标准方程化简,再验证直线与圆的位置关系;(2)根据三边关系判断出取最大值的条件,由圆外一点与圆上一点距离最值问题求出最大值,由点斜式方程求出BC的直线方程,以及此时点P的坐标.

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