Question

【题目】已知以点C（t， ）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．
（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OM=ON，所以，则原点O在MN的中垂线上．

设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，

∵直线MN的方程是3x+y﹣4=0，

∴直线OC的斜率 = = ，解得t=3或t=﹣3，

∴圆心为C（3，1）或C（﹣3，﹣1）

∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10或（x+3）2+（y+1）2=10

由于当圆方程为（x+3）2+（y+1）2=10时，圆心到直线3x+y﹣4=0的距离d＞r，

此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10

（2）解：在三角形PBQ中，两边之差小于第三边，故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|

又B，C，Q三点共线时|BQ|最大

所以，|PQ|﹣|PB|的最大值为 ，

∵B（0，2），C（3，1），∴直线BC的方程为 ，

∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣6，4）

【解析】（1）由OM=ON得原点O在MN的中垂线上，由圆的弦中点性质和直线垂直的条件列出方程，求出t的值和C的坐标，代入圆的标准方程化简，再验证直线与圆的位置关系；（2）根据三边关系判断出取最大值的条件，由圆外一点与圆上一点距离最值问题求出最大值，由点斜式方程求出BC的直线方程，以及此时点P的坐标．