Question

16．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，N是△BDC₁的重心，则直线AN与平面BDC₁所成角的大小是arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 找出直线与平面所成角，通过空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可．

解答 解：如图：BD⊥平面AA₁C，直线AN与平面BDC₁所成角的大小，
就是$\overrightarrow{NA}与\overrightarrow{NO}$所成角的大小．
建立空间直角坐标系，则N（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
则$\overrightarrow{NA}$=（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{NO}$=（$-\frac{1}{6}$，$-\frac{1}{6}$，$-\frac{1}{3}$）．
则：cos＜$\overrightarrow{NA}，\overrightarrow{NO}$＞=$\frac{\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NO}}{\overrightarrow{|NA}\left|\right|\overrightarrow{NO|}}$=$\frac{\frac{2}{3}×\frac{1}{6}+\frac{2}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}{\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}×\sqrt{（\frac{1}{6}）^{2}+（\frac{1}{6}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
＜$\overrightarrow{NA}，\overrightarrow{NO}$＞=arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查空间想象能力以及计算能力．