题目内容

已知椭圆的方程为,其中.
(1)求椭圆形状最圆时的方程;
(2)若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点,证明:点在一个定圆上.
(1);(2)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,根据椭圆的标准方程应满足的条件得:,且,则知椭圆的长轴在y轴上,而椭圆形状最圆时e最小,则先得到e的表达式,再根据三角函数的有界性求表达式的最小值,得到取得最小值时的的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出交点P的坐标,根据直线的斜率是否存在,分2种情况讨论,当斜率存在时,设出直线方程,与椭圆方程联立,得到关于k的方程,由于两切线垂直,则,利用上述方程的两根之积得到的值,整理出方程形式,再验证当斜率不存在时P点坐标,得到最终结论.
试题解析:(1)根据已知条件有,且,故椭圆的长轴在轴上.
,当且仅当时取等号.
由于椭圆的离心率最小时其形状最圆,故最圆的椭圆方程为.    5分
(2)设交点,过交点的直线与椭圆相切.
(1)当斜率不存在或等于零时,易得点的坐标为.    6分
(2)当斜率存在且非零时,则设斜率为,则直线
与椭圆方程联立消,得:.
由相切,
化简整理得.①
因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切,由已知两切线垂直,故,而为方程①的两根,
,整理得:.
也满足上式,
点的轨迹方程为,即点在定圆上.   13分
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