Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$（a，b为常数），且方程f（x）=x-12有两个实根为x₁=3，x₂=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞2，解关于x的不等式：f（x）＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．

Answer 1

分析 （1）可将x₁=3，x₂=4分别带入方程$\frac{{x}^{2}}{ax+b}=x-12$便可得到关于a，b的方程组，解方程组便可得到a=-1，b=2，从而得出$f（x）=\frac{{x}^{2}}{2-x}$；
（2）可将不等式$\frac{{x}^{2}}{2-x}＜\frac{（k+1）x-k}{2-x}$变成$\frac{（x-1）（x-k）}{2-x}＜0$，从而根据k＞2便可解出该不等式，从而得出原不等式的解集．

解答 解：（1）将x₁=3，x₂=4分别带入方程$\frac{{x}^{2}}{ax+b}=x-12$得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{3a+b}=-9}\\{\frac{16}{4a+b}=-8}\end{array}\right.$；
解得a=-1，b=2；
∴$f（x）=\frac{{x}^{2}}{2-x}$；
（2）不等式$\frac{{x}^{2}}{2-x}＜\frac{（k+1）x-k}{2-x}$可化为：
$\frac{{x}^{2}-（k+1）x+k}{2-x}＜0$；
即$\frac{（x-1）（x-k）}{2-x}＜0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）（x-k）＞0}\\{2-x＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）（x-k）＜0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$；
∵k＞2；
∴解得x＞k，或1＜x＜2；
∴原不等式的解集为（1，2）∪（k，+∞）．

点评 考查方程的根的概念，解二元一次方程组，解分式不等式的方法：将分式不等式变成不等式组，以及解一元二次不等式．