题目内容
【题目】如图甲，在直角梯形
中，
，
，
，过
作
，垂足为
，现将
沿
折叠，使得
．取
的中点
，连接
，
，
，如图乙．
甲
乙
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）要证
平面
，即证
垂直于平面两条交线，设法证明
，
即可
（2）以点
为坐标原点，分别以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系
，表示出
，
，
，
，
，
求出
的法向量
和平面
的法向量
，再用二面角的余弦公式求值即可
（1）∵
，
，∴
平面
，又∵
平面，∴，
又∵，
，∴平面．
甲
乙
（2）如图乙，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，，，
设平面的法向量为，
由
，
，所以有
，
∴取
，得平面的一个法向量为
，
设平面的法向量为，
由
，
，所以有
∴取
，得平面的一个法向量为
，设二面角
的大小为
，
则
．
【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1
停车距离 |
|
|
|
|
|
频数 | 26 |
|
| 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停车距离 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题.
（Ⅰ）求
的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算
关于
的回归方程
；
（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
（附：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
）
