题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
,
,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值.
(2)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ );(Ⅱ)
.
【解析】分析:(Ⅰ )取AD中点为O,连接CO,PO,由已知可得CO⊥AD,PO⊥AD.以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),进一步求出向量的坐标,再求出平面PCD的法向量
,设PB与平面PCD的夹角为θ,由
求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(Ⅱ)假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y1,z1),由
可得M(0,1﹣λ,λ),
,由BM∥平面PCD,可得
,由此列式求得当
时,M点即为所求.
详解:(1)取AD的中点O,连接PO,CO.
因为PA=PD,所以PO⊥AD.
又因为PO平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
因为CO平面ABCD,所以PO⊥CO.
因为AC=CD,所以CO⊥AD.
以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:
则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),
则,
,
设为平面PCD的法向量,
则由,得
,则
.
设PB与平面PCD的夹角为θ,则=
;
(2) 假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y1,z1),
由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1),,B(1,1,0),
,
则有,可得M(0,1﹣λ,λ),
∴,
∵BM∥平面PCD,为平面PCD的法向量,
∴,即
,解得
.
综上,存在点M,即当时,M点即为所求.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润
(单位:万元)的有关数据.
星期 | 星期2 | 星期3 | 星期4 | 星期5 | 星期6 |
利润 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程;
(2)估计星期日获得的利润为多少万元.
参考公式: