题目内容
【题目】已知三棱锥
的展开图如图二，其中四边形
为边长等于
的正方形，
和
均为正三角形，在三棱锥中：
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
是
的中点，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，
，由边长关系得
，从而可得
平面
，即可证明平面
平面；
（2）由（1）问可知平面，所以以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图示空间直角坐标系，利用向量法求出平面
和平面
的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角
的余弦值。
（1）设的中点为，连接，，
由题意，得
，
，
．
因为在
中，
，为的中点，所以
，
因为在
中，，
，
，
，所以
因为
，，
平面，所以平面，
平面
，所以平面平面
（2）由（1）问可知平面，所以，
，
，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
，则
由
得：
．令
，得
，
，即
．
设平面的法向量为
，由
得：
，令
，得
，
，即
．由图可知，二面角的余弦值为．
【题目】时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力。小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考。
附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字1、2、3、4、5表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；
统计表（一）
年份数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“参与”人数（y千人） | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 2.5 | 2.8 |
统计表（二）
高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：
男生 | 女生 | 小计 | |
参加（人数） | 26 | b | 50 |
不参加（人数） | c | 20 | |
小计 | 44 | 100 |
（1）请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数y关于年份数x的线性回归方程
，并预估今年的校运会的“参与”人数；
（2）学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”．如果该校每届校运会的“参与”人数是互不影响的，且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的，并以这6个年份中的“体育活跃年”所占的比例作为任意一年是“体育活跃年”的概率。现从过去许多年中随机抽取9年来研究，记这9年中“体活跃年”的个数为随机变量
，试求随机变量
的分布列、期望
和方差
；
（3）根据统计表（二），请问：你能否有超过60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？
参考公式和数据一：
，
，
，
参考公式二：
，其中
．
参考数据：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
