题目内容

【题目】已知三棱锥的展开图如图二,其中四边形为边长等于的正方形,均为正三角形,在三棱锥中:

1)证明:平面平面

2)若的中点,求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

1)设的中点为,连接,由边长关系得,从而可得平面,即可证明平面平面

2)由(1)问可知平面,所以以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,利用向量法求出平面和平面的法向量,再利用二面角的公式即可得到二面角的余弦值。

1)设的中点为,连接

由题意,得

因为在中,的中点,所以

因为在中,

,所以

因为平面,所以平面

平面,所以平面平面

2)由(1)问可知平面,所以,于是以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,

设平面的法向量为,则

得:.令,得,即

设平面的法向量为,由得:

,令,得,即

.由图可知,二面角的余弦值为

练习册系列答案
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【题目】时值金秋十月,正是秋高气爽,阳光明媚的美好时刻。复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中,同学们也在热切地期盼着,都想为校运会出一份力。小智同学则通过对学校有关部门的走访,随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据,并进行分析,希望能为运动会组织者科学地安排提供参考。

附:①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右;②“参与”人数是指运动员和志愿者,其余同学均为“啦啦队员”,不计入其中;③用数字12345表示小智同学统计的五个年份的年份数,今年的年份数是6

统计表(一)

年份数x

1

2

3

4

5

“参与”人数(y千人)

1.9

2.3

2.0

2.5

2.8

统计表(二)

高一(3)(4)班参加羽毛球比赛的情况:

男生

女生

小计

参加(人数)

26

b

50

不参加(人数)

c

20

小计

44

100

1)请你与小智同学一起根据统计表(一)所给的数据,求出“参与”人数y关于年份数x的线性回归方程,并预估今年的校运会的“参与”人数;

2)学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”.如果该校每届校运会的“参与”人数是互不影响的,且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的,并以这6个年份中的“体育活跃年”所占的比例作为任意一年是“体育活跃年”的概率。现从过去许多年中随机抽取9年来研究,记这9年中“体活跃年”的个数为随机变量,试求随机变量的分布列、期望和方差

3)根据统计表(二),请问:你能否有超过60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关?

参考公式和数据一:

参考公式二:,其中

参考数据:

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

3.841

5.024

6.635

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