Question

【题目】正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.

Answer 1

【答案】 （或2）

【解析】

由已知得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG.然后证明AG⊥EF,且求得AG与EF的长度,可得截面四边形的面积；再求出四棱锥P﹣AEGF的体积与原正四棱锥的体积,则平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求.

解：如图,

在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为,

可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG.

设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,

则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,

在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.

∴AG⊥EF.

在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC,

则在Rt△PGE中,得.

同理PF,则EF∥DB,得到.

∴；

则.

又,

∴平面α将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为.

故答案为：；（或2）.