题目内容
【题目】(本小题满分16分)已知为实数,函数
,函数
.
(1)当时,令
,求函数
的极值;
(2)当时,令
,是否存在实数
,使得对于函数
定义域中的任意实数
,均存在实数
,有
成立,若存在,求出实数
的取值集合;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)的极小值为
,无极大值.(2)
【解析】
试题分析:(1)当时,
,定义域为
,由
得
.列表分析得
的极小值为
,无极大值.(2)恒成立问题及存在问题,一般利用最值进行转化:
在
上恒成立.由于
不易求,因此再进行转化:当
时,
可化为
,令
,问题转化为:
对任意
恒成立;同理当
时,
可化为
,令
,问题转化为:
对任意的
恒成立;以下根据导函数零点情况进行讨论即可.
试题解析:(1),
,令
,得
. 1分
列表:
x | |||
0 | + | ||
↘ | 极小值 | ↗ |
所以的极小值为
,无极大值. 4分
(2)当时,假设存在实数
满足条件,则
在
上恒成立. 5分
1)当时,
可化为
,
令,问题转化为:
对任意
恒成立;(*)
则,
,
.
令,则
.
①时,因为
,
故,所以函数
在
时单调递减,
,
即,从而函数
在
时单调递增,故
,所以(*)
成立,满足题意; 7分
②当时,
,
因为,所以
,记
,则当
时,
,
故,所以函数
在
时单调递增,
,
即,从而函数
在
时单调递减,所以
,此时(*)不成立;
所以当,
恒成立时,
; 9分
2)当时,
可化为
,
令,问题转化为:
对任意的
恒成立;(**)
则,
,
.
令,则
.
①时,
,
故,所以函数
在
时单调递增,
,
即,从而函数
在
时单调递增,所以
,此时(**)成立;11分
②当时,
ⅰ)若,必有
,故函数
在
上单调递减,所以
,即
,从而函数
在
时单调递减,所以
,此时(**)不成立; 13分
ⅱ)若,则
,所以当
时,
,
故函数在
上单调递减,
,即
,所以函数
在
时单调递减,所以
,此时(**)不成立;
所以当,
恒成立时,
; 15分
综上所述,当,
恒成立时,
,从而实数
的取值集合为
. 16分
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