题目内容
【题目】(本小题满分16分)已知为实数,函数,函数.
(1)当时,令,求函数的极值;
(2)当时,令,是否存在实数,使得对于函数定义域中的任意实数,均存在实数,有成立,若存在,求出实数的取值集合;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)的极小值为,无极大值.(2)
【解析】
试题分析:(1)当时,,定义域为,由得.列表分析得的极小值为,无极大值.(2)恒成立问题及存在问题,一般利用最值进行转化:在上恒成立.由于不易求,因此再进行转化:当时, 可化为,令,问题转化为:对任意恒成立;同理当时,可化为,令,问题转化为:对任意的恒成立;以下根据导函数零点情况进行讨论即可.
试题解析:(1),
,令,得. 1分
列表:
x | |||
0 | + | ||
↘ | 极小值 | ↗ |
所以的极小值为,无极大值. 4分
(2)当时,假设存在实数满足条件,则在上恒成立. 5分
1)当时, 可化为,
令,问题转化为:对任意恒成立;(*)
则,,.
令,则.
①时,因为,
故,所以函数在时单调递减,,
即,从而函数在时单调递增,故,所以(*)
成立,满足题意; 7分
②当时,,
因为,所以,记,则当时,,
故,所以函数在时单调递增,,
即,从而函数在时单调递减,所以,此时(*)不成立;
所以当,恒成立时,; 9分
2)当时,可化为,
令,问题转化为:对任意的恒成立;(**)
则,,.
令,则.
①时,,
故,所以函数在时单调递增,,
即,从而函数在时单调递增,所以,此时(**)成立;11分
②当时,
ⅰ)若,必有,故函数在上单调递减,所以,即,从而函数在时单调递减,所以,此时(**)不成立; 13分
ⅱ)若,则,所以当时,
,
故函数在上单调递减,,即,所以函数在时单调递减,所以,此时(**)不成立;
所以当,恒成立时,; 15分
综上所述,当,恒成立时, ,从而实数的取值集合为. 16分