题目内容
【题目】已知斜三棱柱的棱长都是
,侧棱与底面成60°角,侧面
底面
.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)45°
【解析】
(1)根据题意,作于点
,连接
,由平面
底面
,
平面
,所以
是侧棱与底面所成的角,又因为点
为
的中点.,
是正三角形,所以
.,再由线面垂直的判定定理,得到
平面
,从而证得
..
(2)由是平面
与平面
的一个交点,根据平面的基本性质,平面
与平面
有且仅有一条过点
的交线,设为
,根据面面平行的性质定理,得
,
,再由(1)知
平面
,所以
平面
,所以
为所求锐二面角的平面角,然后再求解..
(1)如图,作于点
,连接
.
∵平面底面
,
平面
,
为
在底面
上的射影,
,
,
∴点为
的中点.
是正三角形,
.
,
平面
,
.
(2)是平面
与平面
的一个交点,
∴平面与平面
有且仅有一条过点
的交线,设为
,如图.
∵平面平面
,
∴由两平面平行的性质,知,又
,
由(1)知平面
,
平面
.
为所求锐二面角的平面角,
.
故平面与平面
所成的锐二面角为45°.
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