题目内容

已知函数),且.
(Ⅰ)试用含有的式子表示,并求的极值;
(Ⅱ)对于函数图象上的不同两点,如果在函数图象上存在点(其中),使得点处的切线,则称存在“伴随切线”. 特别地,当时,又称存在“中值伴随切线”. 试问:在函数的图象上是否存在两点使得它存在“中值伴随切线”,若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)
时,的极大值为
(Ⅱ)在函数上不存在两点使得它存在“中值伴随切线”.理由略
(Ⅰ)的定义域为
.          ……………2分
代入,得.
时,,由,得
,即上单调递增;
时,,由,得,……………4分
,即上单调递减.
上单调递增,在上单调递减.                  
所以,当时,的极大值为  ………………6分
(Ⅱ)在函数的图象上不存在两点使得它存在“中值伴随切线”.
假设存在两点,不妨设,则



在函数图象处的切线斜率


化简得:.
,则,上式化为:,即
若令

在上单调递增,.
这表明在内不存在,使得=2.
综上所述,在函数上不存在两点使得它存在“中值伴随切线”.…………13分
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