题目内容
已知函数(),且.
(Ⅰ)试用含有的式子表示,并求的极值;
(Ⅱ)对于函数图象上的不同两点,,如果在函数图象上存在点(其中),使得点处的切线,则称存在“伴随切线”. 特别地,当时,又称存在“中值伴随切线”. 试问:在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”,若存在,求出、的坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)试用含有的式子表示,并求的极值;
(Ⅱ)对于函数图象上的不同两点,,如果在函数图象上存在点(其中),使得点处的切线,则称存在“伴随切线”. 特别地,当时,又称存在“中值伴随切线”. 试问:在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”,若存在,求出、的坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅰ),
当时,的极大值为
(Ⅱ)在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.理由略
当时,的极大值为
(Ⅱ)在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.理由略
(Ⅰ)的定义域为,
,,. ……………2分
代入,得.
当时,,由,得,
又,,即在上单调递增;
当时,,由,得,……………4分
又,,即在上单调递减.
在上单调递增,在上单调递减.
所以,当时,的极大值为 ………………6分
(Ⅱ)在函数的图象上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.
假设存在两点,,不妨设,则
,,
,
在函数图象处的切线斜率
,
由
化简得:,.
令,则,上式化为:,即,
若令,
,
由,,在在上单调递增,.
这表明在内不存在,使得=2.
综上所述,在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.…………13分
,,. ……………2分
代入,得.
当时,,由,得,
又,,即在上单调递增;
当时,,由,得,……………4分
又,,即在上单调递减.
在上单调递增,在上单调递减.
所以,当时,的极大值为 ………………6分
(Ⅱ)在函数的图象上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.
假设存在两点,,不妨设,则
,,
,
在函数图象处的切线斜率
,
由
化简得:,.
令,则,上式化为:,即,
若令,
,
由,,在在上单调递增,.
这表明在内不存在,使得=2.
综上所述,在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.…………13分
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