题目内容
设数列,,,已知,,,,,().
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:对任意,为定值;
(3)设为数列的前项和,若对任意,都有,求实数的取值范围.
(1);(2)证明见解析;(3).
解析试题分析:(1)根据已知条件与待求式,作差,可得,而,故数列是等比数列,通项公式可求;(2)考虑要证的表达式求和
,表面上看不出什么,但由,可得,由由,可以想象,是常数,因此可用数学归纳法证明;(3)由(1)(2)可解得,那么其前项和可用分组求和法求得,,这样我们就可求出,,相当于,由于,从而,一直是我们只要求得的最大值和的最小值,则就是,由此可求得的范围.
试题解析:(1)因为,,所以(), (1分)
所以,,
, (2分)
即数列是首项为,公比为的等比数列, (3分)
所以. (4分)
(2)解法一:, (1分)
因为,所以,,
猜测:(). (2分)
用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立; (3分)
②假设当()时结论成立,即,那么当时,,即时结论也成立. (5分)
由①,②得,当时,恒成立,即恒为定值.(6分)
解法二:, (1分)
所以,(4分)
而,所以由上述递推关系可得,当时,恒成立,即恒为定值.(6分)
(3)由(1)、(2)知,所以,(1分)
所以,
所以, (2分)
由得,
因为,所以
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