Question

【题目】已知点，点P在直线上运动，请点Q满足，记点Q的为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设，过点D的直线交曲线C于A，B两个不同的点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设，由平面向量的知识可得，再由点P在曲线上代入即可得解；

（2）分直线AB的斜率是否存在讨论；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，联立方程，利用韦达定理可得，即可得证.

（1）设，由可得，

所以即，

因为点P在曲线上，
所以即，整理得.

所以曲线C的方程为；

（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB与抛物线仅有一个交点，不符合题意；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，

由，消去得，，

可知，，

直线AE，BE的斜率之和为

，

故AE，BE的倾斜角互补，

，

.