题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,点
在椭圆
上,点
在圆
上,且圆
上的所有点均在椭圆
外,若
的最小值为
,且椭圆
的长轴长恰与圆
的直径长相等,则下列说法正确的是( )
A.椭圆的焦距为
B.椭圆
的短轴长为
C.的最小值为
D.过点
的圆
的切线斜率为
【答案】AD
【解析】
由题意可求得的值,再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得
的值,进而可判断出A、B选项的正误;利用圆的几何性质可判断C选项的正误;设出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径可求得切线的斜率,可判断D选项的正误.综合可得出结论.
圆的圆心为
,半径长为
,
由于椭圆的长轴长恰与圆
的直径长相等,则
,可得
,
设椭圆的左焦点为点,由椭圆的定义可得
,
,
所以,,
当且仅当、
、
、
四点共线,且当
、
分别为线段
与椭圆
、圆
的交点时,等号成立,
则,
,解得
,
所以,椭圆的焦距为
,A选项正确;
椭圆的短轴长为
,B选项错误;
,
当且仅当、
、
、
四点共线,且当
、
分别为线段
与椭圆
、圆
的交点时,等号成立,C选项错误;
若所求切线的斜率不存在,则直线方程为,圆心
到该直线的距离为
,则直线
与圆
相离,不合乎题意;
若所求切线的斜率存在,可设切线的方程为,即
,
由题意可得,整理得
,解得
.
D选项正确.
故选:AD.
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