Question

Answer 1

,

解：（Ⅰ）由题意可知，
　　　　令　，则　
　　　　又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即
　　　　，故，
又，
故
　　　
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当时，有。
令，有
当时，。
令，有
即，
将上述个不等式一次相加得

整理得

解法二：用数学归纳法证明
（１）  当时，左边，右边，不等式成立
（２）  假设时，　不等式成立，　就是　
　　　　
　　　那么
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　由（Ⅱ）知：当时，有
令，有
令，得：


就是说，当时，不等式也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立。

（Ⅱ）用反证法证明
假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立


由于，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列中任意三项不可能成等差数列。