题目内容

1.定义新运算“a※b”为a※b=$\left\{{\begin{array}{l}{a,a≤b}\\{b,a>b}\end{array}}\right.$,例如1※2=1,3※2=2,则函数f(x)=sinx※cosx的值域是(  )
A.$[-1,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$B.$[0,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$C.[-1,1]D.$[-\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

分析 由“a※b”运算的定义便有f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sinx}&{sinx≤cosx}\\{cosx}&{sinx>cosx}\end{array}\right.$,可利用三角函数线求出sinx≤cosx与sinx>cosx两种情况下的x的范围,根据求得的x的范围求出对应的sinx及cosx的取值范围,这样便可得出函数f(x)的值域.

解答 解:根据该新运算的定义:f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sinx}&{sinx≤cosx}\\{cosx}&{sinx>cosx}\end{array}\right.$;
①若sinx≤cosx,则$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ$,k∈Z;
∴$-1≤sinx≤\frac{\sqrt{2}}{2}$;
②若sinx>cosx,则$\frac{π}{4}+2kπ<x<\frac{5π}{4}+2kπ$,k∈Z;
∴$-1≤cosx<\frac{\sqrt{2}}{2}$;
∴综上得函数f(x)的值域为$[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}]$.
故选A.

点评 考查对新运算“a※b”定义的理解,对三角函数线的运用,分段函数值域的求法.

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