Question

17．$a=-\frac{1}{2}$是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的充要条条件．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：若f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即ln（e^-x+1）-ax=ln（e^x+1）+ax，
即ln（$\frac{1}{{e}^{x}}$+1）-ln（e^x+1）=2ax，
即ln（$\frac{1+{e}^{x}}{{e}^{x}}$）-ln（e^x+1）=2ax，
即ln（e^x+1）-lne^x-ln（e^x+1）=2ax，
即-x=2ax，
即2a=-1，则$a=-\frac{1}{2}$，
即$a=-\frac{1}{2}$是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的充要条件，
故答案为：充要．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键．