题目内容

7.已知平面直角坐标系xOy中,A(6,2$\sqrt{3}$),B(4,4),圆C是△OAB的外接圆.
(1)求圆C的一般方程;
(2)若过点P(0,4$\sqrt{3}$)的直线l与圆C相切,求直线l的方程.

分析 (1)由题意设出圆的一般式方程,把三点坐标代入列方程组,求出系数;
(2)分两种情况求解:当直线的斜率不存在时,只需要验证即可;当直线的斜率存在时,根据直线l与圆C相切,所以圆心到直线距离为4,求直线的斜率.

解答 解:(1)设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意列方程组$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{4D+4E+F+32=0}\\{6D+2\sqrt{3}E+F+48=0}\end{array}\right.$,
解得D=-8,E=F=0.所以圆C:(x-4)2+y2=16;
(2)圆C:(x-4)2+y2=16,圆心C(4,0),半径4,
当斜率不存在时,l:x=0符合题意;
当斜率存在时,设直线l:y=kx+4$\sqrt{3}$,即kx-y+4$\sqrt{3}$=0,
因为直线l与圆C相切,所以圆心到直线距离为4,
所以$\frac{|4k+4\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4,所以k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以直线l:x+$\sqrt{3}$y-12=0,
故所求直线l为x=0或x+$\sqrt{3}$y-12=0.

点评 本题考查了用待定系数法求圆的方程,通常用一般式计算要简单;另外圆与直线相切时,圆心到直线距离等于半径,注意用到斜率考虑是否存在问题,这是易错处.

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