Question

9．若关于x的方程mx²+2x+1=0至少有一个负根，则实数m的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 分类讨论，一个负根和两个负根，即可得出结论．

解答 解：m=0时，方程为2x+1=0，有一个负根，
m≠0时，mx²+2x+1=0为一元二次方程，
关于x的方程mx²+2x+1=0至少有一个负根，设根为x₁，x₂，
当△=4-4m=0时，即m=1时，方程为x²+2x+1=0，解得x=-1，满足题意，
当△=4-4m＞0，即m＜1时，且m≠0时，
若有一个负根，则x₁x₂=$\frac{1}{m}$＜0，解得m＜0，
若有两个负根，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{m}＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{m}＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜1，
综上所述，则实数m的取值范围是（-∞，1]，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．