题目内容
【题目】已知
与函数
和
都相切，则不等式组
所确定的平面区域在
内的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
根据直线
与
和
都相切，求得
的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆
，由此求得正确选项.
.设直线与相切于点
，斜率为
，所以切线方程为
，化简得
①.令
，解得
，
，所以切线方程为
，化简得
②.由①②对比系数得
，化简得
③.构造函数
，
，所以
在
上递减，在
上递增，所以在
处取得极小值也即是最小值，而
，所以
有唯一解.也即方程③有唯一解
.所以切线方程为
.即
.不等式组
即
，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为
，圆心为
.而方程组
的解也是
.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线
的斜率为
，直线
的斜率为
.所以
，所以
，而圆
的半径为
，所以阴影部分的面积是
.
故选：B
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