题目内容
【题目】已知函数.
(1)解关于的不等式:
;
(2)当时,过点
是否存在函数
图象的切线?若存在,有多少条?若不存在,说明理由;
(3)若是使
恒成立的最小值,试比较
与
的大小(
).
【答案】(1)当时,
;当
时,
;(2)不存在,理由见解析;(3)
.
【解析】
(1)当时,
时,
;当
时,
时,
,解之即可;
(2)由题意可得,切线斜率为,设
,求导可得
在
上递减,
上递增,故
,所以方程无解,问题得解;
(3)由整理,得
,
在
上单调递增,最小值1,所以
,即
,故
,
,令
,可得
,即可得出.
(1)由已知,得
当时,
的定义域为
;当
时,
的定义域为
①当时,
,原不等式等价于:
,
解得;
②当时,
,原不等式等价于:
,
解得.
(2)当时,
,
设上的切点坐标为
,显然
,
求导,得,故切线斜率
由题意,得,即
设,则
,
在
上单调递减;在
上单调递增,
所以没有实根,故不存在切线.
(3)由整理,得
由(2)可知,在
上单调递增,
所以当时
取得最小值1,
由题意可得,即
,故
,
.
令,则
,
而,即
,
,
.
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