题目内容
【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R)
(1)当a= 时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=(x2﹣2x)ex , 如果对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)=ax﹣(2a+1)+ ,
所以a= 时,f′(x)= ,
其单调递增区间为(0, ),(2,+∞),单调递减区间为(
(2)解:若要命题成立,只需当x∈(0,2]时,f(x)max<g(x)max.
由g′(x)=(x2﹣2)ex可知,当x∈(0,2]时,g(x)在区间(0, )上单调递减,在区间( ,2]上单调递增,
g(0)=g(2)=0,故g(x)max=0,
所以只需f(x)max<0.
对函数f(x)来说,f′(x)=ax﹣(2a+1)+ =
当a≤0时,由x∈(0,2],f′(x)≥0,函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,
f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2<0,故ln2﹣1<a≤0
当0<a≤2时, ,由x∈(0,2),ax﹣1≥0,故f′(x)≥0,
函数f(x)在区间(0,2)上单调递增,
f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2<0,a>ln2﹣1
故0<a≤2满足题意
当a> 时, ,函数f(x)在区间(0, )上单调递增,在区间( 上单调递减,
f(x)max=f( =﹣2lna﹣ ﹣2.
若a≥1时,显然小于0,满足题意;
若 时,可令h(a)=﹣2lna﹣ ﹣2, ,
可知该函数在 时单调递减,
,满足题意,所以a> 满足题意.
综上所述:实数a的取值范围是(ln2﹣1,+∞)
【解析】(1)利用导数直接求单调区间;(2)若要命题成立,只需当x∈(0,2]时,f(x)max<g(x)max . 分别求出最大值即可.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.