题目内容
【题目】如图,在几何体ABCDE中,BE⊥平面ABC,CD∥BE,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,且BE=AB=4,CD=2,点F在线段AC上,且AF=3FC
(1)求异面直线DF与AE所成角;
(2)求平面ABC与平面ADE所成二面角的余弦值.
【答案】
(1)解:依题得,以点B为原点, 所在的直线分别为x,y,z轴,
建立如图的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),E(0,0,4),
∴ ,
,
∵AF=3FC∴
∴ ∴F的坐标为(1,3,0)
∵CD∥BE且CD=2∴D的坐标为(0,4,2)
∴
设异面直线DF与AE所成角为θ,
则 ,∴
,
∴异面直线DF与AE所成角为 .
(2)解:平面ABC的一个法向量为 ,
设 =(x,y,z) 是平面ADE的一个法向量,
=(﹣4,4,2),
,
则 ,
,即
令y=1,解得x=2,z=2.
设平面ABC与平面ADE所成二面角为θ,由图可知,θ为锐角,
∴
∴平面ABC与平面ADE所成二面角的余弦值为 .
【解析】(1)以点B为原点, 所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DF与AE所成角.(2)求出平面ABC的一个法向量和平面ADE的一个法向量,利用向量法能求出平面ABC与平面ADE所成二面角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系).
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