Question

【题目】如图，在底面为平行四边形的四棱锥O﹣ABCD中，BC⊥平面OAB，E为OB中点，OA=AD=2AB=2，OB= ．

（1）求证：平面OAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC⊥平面OAB，OA平面OAB，

∴OA⊥BC，

又OA=2AB=2，OB= ，

在△OAB中，OA2+AB2=OB2，

∴OA⊥AB，

∴OA⊥平面ABCD，

又OA平面OAD，∴平面OAD⊥平面ABCD

（2）解：由（1）知OA，AB，AD两两垂直，

以A为坐标原点，分别以AD，AB，AO所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），C（2，1，0），O（0，0，2），B（0，1，0），E（0， ，1），

=（2，1，0）， =（0， ，1），

设平面AEC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣2，1），

又平面ABC的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = = ，

∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为 ．

【解析】（1）由已知得OA⊥BC，OA⊥AB，从而OA⊥平面ABCD，由此能证明平面OAD⊥平面ABCD；（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AO所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．