题目内容

【题目】某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为K(K为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数K的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.

【答案】
(1)解:设写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间分别为T1(x),T2(x),T3(x)

其中x,kx,200﹣(1+k)x均为1到200之间的正整数


(2)解:完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为

∴T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,T2(x)= T1(x)

①当k=2时,T2(x)=T1(x),f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{ }

∵T1(x),T3(x)为增函数,∴当 时,f(x)取得最小值,此时x=

,f(44)<f(45)

∴x=44时,完成订单任务的时间最短,时间最短为

②当k≥3时,T2(x)<T1(x),

,为增函数,φ(x)=max{T1(x),T(x)}

f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=max{ }

∵T1(x)为减函数,T(x)为增函数,∴当 时,φ(x)取得最小值,此时x=

∴完成订单任务的时间大于

③当k<2时,k=1,f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{ }

∵T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,∴当 时,φ(x)取得最小值,此时x=

类似①的讨论,此时完成订单任务的时间为 ,大于

综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.


【解析】(1)设完成A,B,C三种部件生产需要的时间分别为T1(x),T2(x),T3(x),则可得 ;(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为 ,可得T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,T2(x)= T1(x),分类讨论:①当k=2时,T2(x)=T1(x),f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{ },利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间;②当k≥3时,T2(x)<T1(x), ,为增函数,φ(x)=max{T1(x),T(x)}f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=max{ },利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间;③当k<2时,k=1,f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{ },利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间,从而问题得解.

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