Question

6．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B为正方形，BB₁C₁C是菱形，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求证：BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求证：B₁C⊥AC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB₁C₁C，得AB⊥B₁C，再证明B₁C⊥平面ABC₁，得出B₁C⊥AC₁；

解答 证明：（Ⅰ）因为ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
所以BC∥B₁C₁，
因为BC?∥平面AB₁C₁，
B₁C₁?平面AB₁C₁，
所以BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）连接BC₁，在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁，
因为平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，
平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，
AB?平面ABB₁A₁，
所以AB⊥平面BB₁C₁C；
又因为B₁C?平面BB₁C₁C，
所以AB⊥B₁C；
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C；
因为BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，且BC₁∩AB=B，
所以B₁C⊥平面ABC₁；
因为AC₁?平面ABC₁，
所以B₁C⊥AC₁．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．