题目内容
【题目】已知函数.
(1)求在区间
上的值域;
(2)若过点存在
条直线与曲线
相切,求
的取值范围.
【答案】(1); (2)
.
【解析】
(1)利用导数求得极值点比较f(-2),
,f(1)的大小即得结论;
(2)利用导数的几何意义得出切线方程4,设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”,
等价于“g(x)有3个不同的零点”.利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况,得出结论;
(1)由得
.
令,得
或
.
因为,
,
,
,
所以在区间
上的最大值为
.
(2)设过点的直线与曲线
相切于点
,
则,且切线斜率为
,
所以切线方程为,
因此.
整理得.
设,
则“过点存在3条直线与曲线
相切”等价于“
有3个不同零点”.
.
与
的变化情况如下:
0 | 1 | ||||
0 | 0 | ||||
所以, 是
的极大值,
是
的极小值.
当,即
时,
此时在区间
和
上分别至多有1个零点,
所以至多有2个零点.
当,即
时,
此时在区间
和
上分别至多有1个零点,所以
至多有
个零点.
当且
,即
时,
因为,
,
所以分别在区间
,
和
上恰有1个零点.
由于在区间
和
上单调,
所以分别在区间
和
上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在
条直线与曲线
相切时,
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】对于定义在区间D上的函数,若存在正整数k,使不等式
恒成立,则称
为
型函数.
(1)设函数,定义域
.若
是
型函数,求实数a的取值范围;
(2)设函数,定义域
.判断
是否为
型函数,并给出证明.
(参考数据:)
【题目】某海滨浴场一天的海浪高度是时间
的函数,记作
,下表是某天各时的浪高数据:
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | |
1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间
的函数关系;
(2)依据规定,当海浪高度不少于时才对冲浪爱好者开放海滨浴场,请依据(1)的结论,判断一天内的
至
之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪?