题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调增区间;
(2)若不等式对于任意
成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1),对a分类讨论以确定函数
的单调增区间;(2)不等式
对任意
成立等价于对任意
,有
成立.设
,
,则只要
即可.
(1)由题意得,函数的定义域为
.
.
若,则当
或
时,
,此时
单调递增,当
时,
,此时
单调递减.若
,则当
时,
,此时
单调递减;当
时,即
,此时
单调递增.
综上所述,当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;当
时,函数
在
上单调递减,在
和
上单调递增.
(2)不等式对任意
成立等价于对任意
,有
成立.
设,
,则只要
即可.
.
令,得
;令
,得
.
所以函数在
是哪个单调递减,在
上单调递增.
所以的最大值为
与
中的较大者.
设,
则,
所以在
上单调递增,所以
,所以
.
从而.所以
,即
.
设,则
,
所以在
上单调递增.
又,所以
的解为
.
因为,所以正实数
的取值范围为
.
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练习册系列答案
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【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:
0 | |||||
0 | 3 | 0 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,并写出函数的解析式(直接写出结果即可);
(2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图像;
(3)求函数在区间
上的最大值和最小值.