Question

12．计算lg4+lg25+4${\;}^{-\frac{1}{2}}$-（4-π）⁰=$\frac{3}{2}$．
若sinθ+cosθ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），则cos2θ=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根据对数和指数幂的运算法则即可得到结论；把所给的等式平方利用二倍角公式求得sin2θ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得cos2θ的值．

解答 解：lg4+lg25+4${\;}^{-\frac{1}{2}}$-（4-π）⁰=lg（4×25）+$\frac{1}{2}$-1
=lg100-$\frac{1}{2}$
=2-$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{2}$．
∵sinθ+cosθ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴平方可得 1+sin2θ=$\frac{45}{25}$，2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
求得sin2θ=$\frac{4}{5}$，
∴cos2θ=$\sqrt{1-si{n}^{2}2θ}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．