Question

4．下列四个结论，其中正确的有（　　）个．
①已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，则a₁+a₂+a₃=-3；
②过原点作曲线y=e^x的切线，则切线方程为ex-y=0（其中e为自然对数的底数）；
③已知随机变量X～N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6862，则P（X≥4）=0.1587
④已知n为正偶数，用数学归纳法证明等式1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$=2（$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+4}$+…+$\frac{1}{2n}$）时，若假设n=k（k≥2）时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明n=k+1时等式成立，即可证明等式对一切正偶数n都成立．
⑤在回归分析中，常用R²来刻画回归效果，在线性回归模型中，R²表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R²越接近1，表示回归的效果越好．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用二项式定理，求出a₁+a₂+a₃的值，可判断①；求出切线方程，可判断②；根据正态分布的对称性，可判断③；根据数学归纳法的步骤，可判断④；根据回归系数的意义，可判断⑤．

解答 解：①已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，
则a₁=${C}_{7}^{1}（-2）^{1}$=-14，a₂=${C}_{7}^{2}{（-2）}^{2}$=84，
a₃=${C}_{7}^{3}{（-2）}^{3}$=-280，
∴a₁+a₂+a₃=-210，故错误；
②过原点作曲线y=e^x的切线，设切点坐标为（a，e^a），切线的斜率k=y′|_x=a=e^a，则切线方程为y-e^a=e^a（x-a），
将原点坐标代入得：a=1，故切线方程为y-e=e（x-1），即ex-y=0（其中e为自然对数的底数），故正确；
③已知随机变量X～N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6862，则P（X≥4）=$\frac{1-0.6862}{2}$=0.1587，故正确；
④已知n为正偶数，用数学归纳法证明等式1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$=2（$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+4}$+…+$\frac{1}{2n}$）时，
若假设n=k（k≥2）时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明n=k+2时等式成立，即可证明等式对一切正偶数n都成立，故错误．
⑤在回归分析中，常用R²来刻画回归效果，在线性回归模型中，R²表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R²越接近1，表示回归的效果越好，故正确；
故正确的命题有3个，
故选：B

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了二项式定理，切线方程，正态分布，数学归纳法，回归分析等知识点，难度中档．