Question

7．平面上的向量$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$满足|$\overrightarrow{MA}$|²+|$\overrightarrow{MB}$|=4，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，若点C满足$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$，则|$\overrightarrow{MC}$|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{4}$

Answer 1

分析 由已知不妨设A（x，0），B（0，y）（x，y≥0）．可得x²+y=4.$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$=$（\frac{1}{3}x，\frac{2}{3}y）$，可得|$\overrightarrow{MC}$|=$\sqrt{\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{4}{9}{y}^{2}}$=$\frac{1}{3}\sqrt{4（y-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{63}{16}}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵平面上的向量$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$满足|MA|²+|MB|=4，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
不妨设A（x，0），B（0，y）（x，y≥0）．则x²+y=4．
∵$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{3}（x，0）$+$\frac{2}{3}（0，y）$=$（\frac{1}{3}x，\frac{2}{3}y）$，
∴|$\overrightarrow{MC}$|=$\sqrt{\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{4}{9}{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{9}{y}^{2}+\frac{1}{9}（4-y）}$=$\frac{1}{3}\sqrt{4（y-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{63}{16}}$$≥\frac{\sqrt{7}}{4}$，当且仅当y=$\frac{1}{8}$，x=$\frac{\sqrt{62}}{4}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．