Question

17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=3，cosB=$\frac{4}{5}$．
（1）若b=6，求sinA的值；  
（2）若△ABC的面积S_△ABC=$\frac{9}{2}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，再利用正弦定理求得 sinA=$\frac{asinB}{b}$ 的值．
（2）由S_△ABC=$\frac{9}{2}$，求得c=5，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{4}{5}$，∴sinB=1-cos²B=$\frac{3}{5}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，∴sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{3×\frac{3}{5}}{6}$=$\frac{3}{10}$．
（2）∵△ABC的面积S_△ABC =$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}×3×c×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{2}$，∴c=5．
由余弦定理得b=$\sqrt{{c}^{2}{+a}^{2}-2ac•cosB}$=$\sqrt{25+9-2×a×5×\frac{4}{5}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．