题目内容
15．设f（x）=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$为正整数．（1）f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（2）数列{an}的通项公式为an=f（$\frac{n}{m}$），求数列{an}的前m项的和Sm．
分析 （1）代入利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）an=f（$\frac{n}{m}$）=$\frac{{5}^{\frac{n}{m}}}{{5}^{\frac{n}{m}}+\sqrt{5}}$，可得am-n=$f（\frac{m-n}{m}）$=$f（1-\frac{n}{m}）$=1-an，an+am-n=1．于是数列{an}的前m项的和Sm=a1+a2+…+am，Sm=am+am-1+…+a1，可得2Sm=am+1+1+…+am=2am+（m-1），
解答 解：（1）f（1）+f（0）=$\frac{5}{5+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$=1．
f（x）+f（1-x）=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$+$\frac{{5}^{1-x}}{{5}^{1-x}+\sqrt{5}}$=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$+$\frac{5}{5+\sqrt{5}•{5}^{x}}$=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$+$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+{5}^{x}}$=1．
（2）an=f（$\frac{n}{m}$）=$\frac{{5}^{\frac{n}{m}}}{{5}^{\frac{n}{m}}+\sqrt{5}}$，
am-n=$f（\frac{m-n}{m}）$=$f（1-\frac{n}{m}）$=1-an，
∴an+am-n=1．
∴数列{an}的前m项的和Sm=a1+a2+…+am，
Sm=am+am-1+…+a1，
∴2Sm=am+1+1+…+am=2am+（m-1），
∴Sm=am+$\frac{m-1}{2}$=f（1）+$\frac{m-1}{2}$=$\frac{5}{5+\sqrt{5}}$+$\frac{m-1}{2}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$+$\frac{m-1}{2}$=$\frac{m+3-\sqrt{5}}{4}$．
点评 本题考查了指数幂的运算法则、数列“倒序相加法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
