Question

11．如图，有一块半径为2a（a＞0）的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．记AD长为x，梯形周长为y．
（Ⅰ）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（Ⅱ）由于钢板有特殊需要，要求CD长不小于$\frac{7}{2}a$，在此条件下，求梯形周长y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作DE⊥AB，由直角三角形的射影定理，可得AE的长，进而得到CD，令CD＞0，可得x的范围，再由y=AB+BC+CD+DA，可得函数的解析式；
（Ⅱ）运用二次函数的配方，求得对称轴，由CD长不小于$\frac{7}{2}a$，可得0＜x≤a，由单调性可得y的最大值．

解答 解：（Ⅰ）如图，作DE⊥AB，
由已知得：$∠ADB=\frac{π}{2}$，
又AD=x，AB=4a，∴$AE=\frac{x^2}{4a}$，
∴$CD=AB-2AE=4a-\frac{x^2}{2a}$，
∴$y=AB+BC+CD+DA=4a+2x+4a-\frac{x^2}{2a}=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a$，
又AD=x＞0，$AE=\frac{x^2}{4a}＞0$，$CD=4a-\frac{x^2}{2a}＞0$，
∴0＜x＜2$\sqrt{2}$a，
所求函数为：$y=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a$$（0＜x＜2\sqrt{2}a）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$y=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a$$（0＜x＜2\sqrt{2}a）$，
又$CD=4a-\frac{x^2}{2a}≥\frac{7}{2}a$，
∴0＜x≤a，
又$y=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a=-\frac{1}{2a}{（x-2a）^2}+10a$，
区间（0，a]为增区间，
∴x=a时，${y_{max}}=\frac{19}{2}a$．

点评 本题考查二次函数的应用题，主要考查函数的解析式和最值的求法，属于中档题．