题目内容
【题目】对于集合,
,
,
.集合
中的元素个数记为
.规定:若集合
满足
,则称集合
具有性质
.
(I)已知集合,
,写出
,
的值;
(II)已知集合,
为等比数列,
,且公比为
,证明:
具有性质
;
(III)已知均有性质
,且
,求
的最小值.
【答案】(I); (II)见解析; (III)
.
【解析】
(Ⅰ)分别求得A+A,B+B,然后可得,
的值;
(Ⅱ)将原问题进行等价变形,然后利用反证法证明题中的结论即可;
(Ⅲ)原问题等价于任意两个元素之和均不相同,且任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.据此整理计算即可确定的最小值.
(I)由题意可得:,
,
故
(II)要证具有性质
,只需证明,若
,则
.
假设上式结论不成立,即若,则
.
即,即
,
,
.
因为上式的右边为的倍数,而上式的左边为
的倍数,所以上式不成立.
故假设不成立,原命题成立.
(III)由题意,集合具有性质
,等价于任意两个元素之和均不相同.
如,对于任意的,有
,
等价于,即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.
令,
所以具有性质
.
因为集合均有性质
,且
,
所以,当且仅当
时等号成立.
所以的最小值为
.
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练习册系列答案
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之间有较强的线性关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)本次考试中,规定数学成绩达到分为优秀,物理成绩达到
分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为
和
,且除去抽走的
名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有
人,请写出
列联表,判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?
参考数据:,
;
,
;