Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

充要条件的证明从充分性和必要性两个方向去证明。充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．得出。必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1。

充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．∵p≠0且p≠1，∴＝＝p，即数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，∵p≠0且p≠1，∴＝＝p.∵{an}为等比数列，∴＝p，即a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1.故数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.