Question

19．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-1，1）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由对称性可得f（2）=0，f（x）在（-∞，1）上单调递增，讨论x+1≥1，x+1＜1，运用单调性，解不等式，最后求并集即可得到解集．

解答 解：由f（x）的图象关于x=1对称，f（0）=0，
可得f（2）=f（0）=0，
当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），
由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：
x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①
当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），
由f（x）在（-∞，1）上单调递增，可得：
x+1＞0，解得x＞-1，即有-1＜x＜0②
由①②，可得解集为（-1，1）．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性和对称性的运用：解不等式，主要考查单调性的定义的运用和不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．