Question

8．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n=3a_n-2n
（1）证明：{a_n+1}为等比数列；
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$；
（3）T_n为数列{b_n}的前n项和，设b_n=log₃（a_n+1），是否存在正整数m，k，使b${\;}_{k+1}^{2}$=2T_m+19成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由2S_n-3a_n+2n=0，可得2S_n+1-3a_n+1+2（n+1），两式作差后即可证得数列{a_n+1}是等比数列；
（2）由（1）求出等比数列通项公式，得到a_n，进一步得到$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，然后由等比数列前n项和证明$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$；
（3）由b_n=log₃（a_n+1）得到数列{b_n}为等差数列，求和后代入b${\;}_{k+1}^{2}$=2T_m+19，整理后可得满足条件的正整数m，k的值．

解答 （1）证明：（Ⅰ）证明：∵2S_n-3a_n+2n=0 ①，
∴2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，
②-①得：2a_n+1-3（a_n+1-a_n）+2=0，
∴a_n+1=3a_n+3．
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=3$，
又2a₁-3a₁+2=0，故a₁=2，a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列；
（2）证明：由数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，得
a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，∴a_n=3ⁿ-1，则$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=\frac{1}{{3}^{n+1}-1-{3}^{n}+1}=\frac{1}{2•{3}^{n}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$
=$\frac{1}{2}•\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$$＜\frac{1}{4}$；
（3）解：b_n=log₃（a_n+1）=$lo{g}_{3}{3}^{n}=n$，
则${T}_{n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
若存在正整数m，k，使b${\;}_{k+1}^{2}$=2T_m+19成立，则
$（k+1）^{2}=2•\frac{m（m+1）}{2}+19$，即（k+1）²=m²+m+19．
∵m²+m+19=m（m+1）+19为奇数，
取k=4，m=2时，（4+1）²=2×3+19；
取k=6，m=5时，（6+1）²=5×6+19．
∴存在正整数m=2，k=4或m=5，k=6，使b${\;}_{k+1}^{2}$=2T_m+19成立．

点评 本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定与数列的求和，考查存在性问题的判断与应用，综合题性强，属于难题．