在平面直角坐标系中.已知椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$.在以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴的极坐标系中.直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$+2ρsin=0(1)求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程,(2)若椭圆C与直线l相交于A.B两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．在平面直角坐标系中，已知椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$+2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0
（1）求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若椭圆C与直线l相交于A，B两点，求|AB|

分析（1）利用cos²α+sin²α=1可把椭圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程．把直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$+2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，展开把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直角坐标方程．
（2）联立化为13x²-24x-4=0，把根与系数的关系代入|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答解：（1）椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$+2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，展开为$\sqrt{3}$+2ρ$（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=0，化为直角坐标方程：$\sqrt{3}$+y-$\sqrt{3}$x=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化为13x²-24x-4=0，∴x₁+x₂=$\frac{24}{13}$，x₁x₂=-$\frac{4}{13}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{56}{13}$．

点评本题考查了椭圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．