题目内容

【题目】已知曲线Cx2﹣y2=1及直线l:y=kx﹣1.
(1)若l与C左支交于两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A、B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为 ,求实数k的值.

【答案】
(1)解:由 消去y,得(1﹣k2)x2+2kx﹣2=0.

∵l与C左支交于两个不同的交点

且 x1+x2=﹣ <0,x1x2=﹣ >0

∴k的取值范围为 (﹣ ,﹣1)


(2)解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),

由(1)得 x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣

又l过点D(0,﹣1),

∴SOAB= |x1﹣x2|=

∴(x1﹣x22=(2 2,即(﹣ 2+ =8.

∴k=0或k=±


【解析】(1)将直线与双曲线联立,利用l与C左支交于两个不同的交点,结合韦达定理,建立不等式,从而可求实数k的取值范围;(2)利用韦达定理,结合△AOB的面积为 ,可建立k的方程,从而可求实数k的值.

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