题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)经过点
,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线:
(
,
)交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)在坐标平面上存在一个定点
满足条件.
【解析】试题分析:
(1)由题设知a= ,所以
,椭圆经过点P(1,
),代入可得b=1,a=
,由此可知所求椭圆方程
(2)首先求出动直线过(0,﹣)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+
)2=
;当l与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由
.由此入手可求出点T的坐标.
解:
(1)∵椭圆:
(
)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴,∴
又∵椭圆经过点,代入可得
.
∴,故所求椭圆方程为
.
(2)首先求出动直线过点.
当与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
当与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
由解得
即两圆相切于点,因此,所求的点
如果存在,只能是
,事实上,点
就是所求的点.
证明如下:
当直线垂直于
轴时,以
为直径的圆过点
当直线不垂直于
轴,可设直线
:
由消去
得:
记点、
,则
又因为,
所以
所以,即以
为直径的圆恒过点
所以在坐标平面上存在一个定点满足条件.
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