Question

1．设向量$\{\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c\}$是空间一个基底，则一定可以与向量$\overrightarrow p=\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow q=\overrightarrow a-\overrightarrow b$构成空间的另一个基底的向量是（　　）

• A． $\overrightarrow a$
• B． $\overrightarrow b$
• C． $\overrightarrow c$
• D． $\overrightarrow{a}$或$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．

解答 解：由题意和空间向量的共面定理，
结合$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$，
得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$是共面向量，
同理$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$是共面向量，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能与$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$构成空间的一个基底；
又$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不共面，
所以$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$构成空间的一个基底．
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的共面定理的应用问题，是基础题目．